,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第三节熵函数的展开,一、联合熵,二、条件熵,三、互信息,Kullback信息量（不讲）,一、联合熵,设有两道多重选择问题,X,、,Y,。问题,X,有,r,个预选答案，问题,Y,有,c,个预选答案。,通过测试，学生对问题,X,选中第,s,个预选答案，对问题,Y,选中第,t,个预选答案的概率为,p,st,.,这是一种同时的选择概率。,称对一个项目选择,s,，对另一个项目选择,t,的概率分布为联合概率分布。,三、互信息,基于联合熵和条件熵，我们可以定义互信息为：,I（X；Y）=H（X）-H（X|Y）,或定义互信息I（X；Y）为,I（Y；X）=H（Y）-H（Y|X）,可以证明，互信息I（X；Y）和互信息I（Y；X）是相等的,互信息的另一种定义方法是直接定义X和Y之间的互信息为,由上式可以得到,I（x；y）=H（x）+H（Y）-H（XY）,互信息的性质:,一般情况下，有0,I(X;Y),min,H(X),H(Y),第四节测试问题的信息量,一、测试问题信息熵的计算,二、等价预选项数,（等价选项个数）,三、对不确定程度的判断,四、互信息在标准化试卷评分中的应用,给定的问题是：从外观上看，,12,个小球完全相同，在这,12,个小球中，仅有一个小球的重量与其它小球不一样。请使用天平，能否在三次以内找出这个重量不同的小球，并且指明该小球比其它小球是重还是轻。,分析与求解：,比较12个小球，并判定轻、重，应是12x2种比较当中的一种。在比较的过程中，开始的不确定程度为log244.585(bit),通过左边轻、右边轻或平衡的判断，每使用一次天平，不确定程度减少log31585bit。,由此，使用两次天平，所得到的信息量为2log33170(bit)该信息量小于4585(bit)。,使用三次天平，所得到的信息量为3log347555(bit)该信息量大于4585bit)。它表示，如果使用三次天平，可完全消除不确定程度，即通过三次使用天平，可找出不同的小球，解决给定的问题。,