单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第十章,一元函数积分学,多元函数积分学,重积分,曲线积分,曲面积分,重 积 分,三、二重积分的性质,第一节,一、引例,二、二重积分的定义,二重积分的概念与性质,第十章,1.,曲顶柱体的体积,一、引例,x,0,z,y,D,S,曲顶柱体,:,底,:,xoy,面上的闭区域,D,;,顶,:,S,:,侧面,:,以,D,的边界为准线,母线平行于,z,轴的柱面,;,回顾,x,0,z,y,D,S,S,:,z,=,f,(,x,y,),元素法,(1),分割,(,化整为零,);,(2),近似,(,以平代曲,):,1.,曲顶柱体的体积,i,x,0,z,y,D,(3),求和,(,积零为整,):,.,i,S,:,z,=,f,(,x,y,),元素法,(1),分割,(,化整为零,);,(2),近似,(,以平代曲,):,1.,曲顶柱体的体积,x,0,z,y,D,(4),取极限,令分法无限变细,i,.,(3),求和,(,积零为整,):,S,:,z,=,f,(,x,y,),元素法,(1),分割,(,化整为零,);,1.,曲顶柱体的体积,(2),近似,(,以平代曲,):,x,0,z,y,D,.,(4),取极限,令分法无限变细,(3),求和,(,积零为整,):,S,:,z,=,f,(,x,y,),元素法,(1),分割,(,化整为零,);,1.,曲顶柱体的体积,(2),近似,(,以平代曲,):,x,0,z,y,V,.,.,(4),取极限,令分法无限变细,V,=,(3),求和,(,积零为整,):,S,:,z,=,f,(,x,y,),元素法,(1),分割,(,化整为零,);,1.,曲顶柱体的体积,(2),近似,(,以平代曲,):,2.,平面薄片的质量,平面薄片,:,在,xoy,平面上占有区域,D,计算该薄片的质量,M,.,面密度,:,D,的面积为,则,若,非常数,则用,元素法,:,(1),分割,(,化整为零,):,D,:,(,均匀薄片,),(2),近似,(,以不变代变,):,(3),求和,(,积零为整,):,(4),取极限,:,两个问题的,共性：,(1),解决问题的思想和步骤相同,:,(2),所求量的结构式相同,:,“分割,近似,求和,取极限”,.,曲顶柱体体积,:,平面薄片的质量,:,乘积和的极限,.,二、二重积分的定义,定义,:,二重积分,:,(1),任意分割,D,:,积分区域,积分和,被积函数,积分变量,被积表达式,面积元素,说明：,在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划分区域,D,，,故二重积分可写为,D,则面积元素为,引例,1,中曲顶柱体体积,:,引例,2,中平面薄板的质量,:,二重积分的,几何意义,:,表示以,f,(,x,y,),为顶,以,D,为底,的曲顶柱体的体积,.,表示曲顶柱体的体积的负值,(3),当,f,(,x,y,),在,D,上有正有负时,二重积分表示曲顶柱体体积的代数和,.,例,1.,根据二重积分的几何意义求积分的值,.,解,:,积分区域,被积函数,-a,a,D,上半球面,圆域,.,三、二重积分的性质,为,D,的面积,则,2.,积分区域可加性,.,特别,由于,则,4.,若在,D,上,5.,设,D,的面积为,则,二重积分估值不等式,解,:,三角形斜边方程,例,2.,x,+,y,= 2,x,+,y,= 1,解：,例,3.,例,4.,解,:,6.,(,积分中值定理,),证,:,由性质,5,可知,由连续函数介值定理,至少有一点,在闭区域,D,上,为,D,的面积,则至少存在一点,使,使,连续,内容小结,1.,二重积分的定义,2.,二重积分的性质,(,与定积分性质相似,),被积函数,相同,且,非负,思考与练习,解,:,由它们的积分域范围可知,1.,比较下列积分值的大小关系,:,2.,设,D,是第二象限的一个有界闭域,且,0 ,y,1,则,的大小顺序为,( ),提示,:,因,0 ,y,1,故,故在,D,上有,作业,P137: 4 (1) (4), 5 (2) (3).,(1),分割,(,化整为零,),(2),近似,(,以直代曲,),(3),作和,(,积零为整,),y,x,o,y,=,f,(,x,),a,b,分法越细，越接近精确值,f,(,i,),元素法,回顾,:,曲边梯形的面积,(4),取极限,y,x,o,y,=,f,(,x,),令分法无限变细,.,a,b,.,f,(,i,),(1),分割,(,化整为零,),(2),近似,(,以直代曲,),(3),作和,(,积零为整,),.,分法越细，越接近精确值,元素法,y,x,o,y,=,f,(,x,),.,.,.,f,(,i,),A,=,.,A,a,b,(4),取极限,令分法无限变细,(1),分割,(,化整为零,),(2),近似,(,以直代曲,),(3),作和,(,积零为整,),.,分法越细，越接近精确值,元素法,返回,